37.1 Định nghĩa lưới tam giác (từ CGAL)

37.1 Định nghĩa

Lưới tam giác hai chiều có thể được coi là một tập hợp T của các tam giác có đặc điểm:

- Hai tam giác hoặc không giao cắt với nhau, hoặc cùng có chung một cạnh (hoặc một đỉnh)

- Tập hợp các tam giác trong T được kết nối và liền kề với nhau.

- Miền liên kết U_T của các tam giác trong T không chứa bất kỳ điểm suy biến nào khác.

Chính xách hơn, lưới tam giác có thể được miêu tả như là một phức đơn hình (simplicial complex). Trước hết, hãy để chúng tôi ghi lại một vài định nghĩa. Một phức đơn hình là một tập hợp T của đơn hình thỏa mãn:

- Bất kỳ mặt phẳng nào của một đơn hình trong T cũng là  một đơn hình trong T

- Hai đơn hình trong T hoặc không giao nhau hoặc cùng có chung một cạnh, hoặc một điểm.

Chiều d của một phức đơn hình cũng là số chiều tối đa của các đơn hình của nó.
Một phức đơn hình T thuần túy nếu bất kỳ đơn hình của nó được bao bọc bên trong một đơn hình của T với số chiều tối đa.
Hai đơn hình trong T với số chiều tối đa d được gọi là kế bên nếu có chung d-1 chiều (sub-face). Một phức đơn hình được kết nối nếu một quan hệ liền kề định xác lập một kết nối hình học thông qua tập đơn hình của T với số chiều tối đa.
Liên hợp U_T của tất cả các đơn hình được gọi là miền của T. Một điểm p nằm trong miền của T được gọi là suy biến (singular) nếu miền bao của nó trong UT không phải là một hình cầu Tôpô (topological ball) hay một mặt Tô pô (topological ball).

Theo wikipedia: Tôpô là một ngành toán học nghiên cứu các đặc tính còn được bảo toàn qua các sự biến dạng, sự xoắn, và sự kéo dãn nhưng ngoại trừ việc xé rách và việc dán dính. Do đó, tô pô còn được mệnh danh là "hình học của màng cao su".

Khi đó, một lưới tam giác 2 chiều có thể được hiểu là một phức đơn hình 2 chiều, có kết nối thuần túy và không có điểm suy biến.

Mỗi mặt tam giác trong lưới có thể được cho hướng được sinh trên cạnh biến cố tới mặt tam giác đó. Hướng của hai tam giác liền kề được gọi là nhất quán nếu chúng tạo ra các hướng đối diện trên cạnh chung. Một lưới tam giác được gọi là có hướng nếu hướng của mỗi tam giác có thể được lựa chọn bằng cách mà tất cả các cặp tam giác đều có chung một hướng nhất quán.

Cấu trúc dữ liệu trong lưới tam giác CGAL cho phép thể hiện tổ hợp của bất kỳ lưới tam giác định hướng 2 chiều mà không cần phải có đường bao ngoài. Trên cùng của cấu trúc, lớp lưới tam giác 2D quan tâm đến hình học nhúng của lưới tam giác và được thiết kế để điều khiển lưới tam giác phẳng. Mặt phẳng của lưới tam giác có thể được nhúng vào trong một không gian đa chiều hơn.

Lưới tam giác của CGAL là một lưới tam giác hoàn thiện, có nghĩa là miền của nó là một đường bao lồi của các đỉnh. Bởi vì bất kỳ một lưới tam giác phẳng nào khi đươc hoàn thiện, đây không phải là một hạn chế thực. Ví dụ, một lưới của các miền đa giác có thể được xây dựng và thể hiện như một tập con của lưới giới hạn nơi mà đường bao miền được đưa vào như là một đường giới hạn (đọc Mục 37.7, 37.8 và 37.9). 

Nói một cách chính xác, thuật ngữ face được dùng để chỉ một mặt phẳng có số chiều không gian bất kỳ, và mặt phẳng không gian 2 chiều của lưới tam giác được gọi là mặt tam giác (facets). Tuy nhiên, từ nay chúng ta sẽ gọi nó theo cách thông thường là mặt tam giác (facets), mặt tam giác của lưới tam giác hai chiều.

Link nguồn: http://www.cgal.org/